Золотая педагогика

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Другое о педагогике » Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе » Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Страница 1

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство: . Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если , то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности - это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при . Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Страницы: 1 2

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности методики обучения элементам игры в хоккей детей старшего дошкольного возраста
Хоккей для детей дошкольного возраста существенно отличается от игры взрослых. Прежде всего упражнениями и играми с клюшкой и шайбой (мячом) решается задача общей физической подготовки ребенка. Дети получают лишь элементарные представления о хоккее. Поэтому при обучении дошкольников можно внести це ...

Дезонтогенез речевого развития детей при легкой степени умственной отсталости у детей
Становление речи умственно отсталого ребенка осуществляется своеобразно и с большим запозданием. Он позднее и менее активно вступает в эмоциональный контакт с матерью. Исследователи отмечают, что в возрасте около года звуковые комплексы, произносимые детьми, бедны и характеризуются сниженной эмоцио ...

Сущность педагоических инноваций
Педагогические инновации (другими словами нововведения) определяются в педагогической науке с нескольких точек зрения. Во-первых, под педагогической инновацией понимается целенаправленное изменение, вносящее в образовательную среду стабильные элементы (определённые новшества), которые улучшают хара ...

© 2017-2021 Copyright www.fikus.site