Золотая педагогика

Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Другое о педагогике » Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе » Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Страница 22

Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).

Можно ли к ряду

применить теорему о почленном дифференцировании рядов?

Решение

Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.

Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом при любом фиксированном .

Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса.

Действительно, при R справедливо неравенство . А положительный числовой ряд является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с ).

Обозначим общие элементы сравниваемых рядов Так как при и - бесконечно малые величины, то . В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Но ряд абсолютно и равномерно сходится для R, значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при . Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при R.

Найдем производную общего элемента функционального ряда

: .

Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:

.

Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.

Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.

Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства: . Но числовой положительный ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с . В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд при R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.

Страницы: 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности формирования географических представлений через процесс ознакомления с природой Родного края
История изучения природы Родного края зародилось в далеком прошлом. У всех народов мира, во все времена были люди, хорошо знавшие окружающую их местность, ее природу, прошлое и современную жизнь. Свои знания устно или в различных документах они передавали последующим поколениям. Так было и в нашей ...

Технология педагогического взаимодействия как условие эффективной педагогической деятельности
Педагогическое общение – специфическая форма общения, имеющая свои особенности и в то же время подчиняющаяся общим психологическим закономерностям, присущим общению как форме взаимодействия человека с другими людьми, включающей коммуникативный, интерактивный и перцептивный компоненты. Педагогическо ...

Значение семейного физического воспитания в формировании здорового смысла
Здоровый образ жизни - это образ жизни, основанный на принципах нравственности, рационально организованный, активный, трудовой, закаливающий. В то же время, защищающий от неблагоприятных воздействий окружающей среды, позволяющий до глубокой старости сохранять нравственное, психическое и физическое ...

© 2017-2021 Copyright www.fikus.site